Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（　　）

• A． $2\sqrt{58}$
• B． 14
• C． $2\sqrt{65}$
• D． $4\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如图作BM⊥AC于M，延长BM交BD于N，先证明四边形AMNE是矩形，在RT△ABC中求出BM、AM，再在RT△BEN中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图作BM⊥AC于M，延长BM交BD于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEN=∠EAM=∠AMN=90°，'
∴四边形AENM是矩形，
∴AE=NM，AM=EN，
在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$AB•CB=$\frac{1}{2}$•AC•BM，
∴BM=$\frac{24}{5}$，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
在RT△BEN中，∵∠BNE=90°，EN=AM=$\frac{18}{5}$，BN=BM+AE=$\frac{74}{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}+（\frac{74}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{58}$．
故选A．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考常考题型．