Question

11．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由；
（3）如图②，若∠ADC=90°，AD=5，AC=13，求BE²的值．

Answer 1

分析 （1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得；
（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得；
（3）根据勾股定理求出CD，根据全等三角形的性质求出BH、EH，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠CAD=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF；
（2）成立，
证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，连接BH，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠BAH=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF；
（3）∵∠ADC=90°，AD=5，AC=13，
∴CD²=AC²-AD²=144，
则CD=12，
由（2）得，BH=CD=12，EH=EA+AH=10，
∵△ABH≌△ACD，
∴∠BHE=∠ADC=90°，
∴BE²=BH²+EH²=244．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键．