Question

8．已知△ABC三个内角的平分线相交于点O，OG⊥AB，垂足为G，∠1=∠AOE，∠2=∠BOG，证明：∠1=∠2．

Answer 1

分析 根据三条角平分线AF、BD、CE相交于点O，证明∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，得到∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，根据OB平分∠ABC，OG⊥AB，得到∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，得到答案．

解答 证明：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ACB+∠BAC=180°-∠CBA，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠1=180°-∠AOC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵OB平分∠ABC，OG⊥AB，
∴∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠1=∠2．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，正确求得∠AOC是关键，同时注意掌握整体思想的应用．