Question

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$．

Answer 1

分析 连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．

解答 解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π×3}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$．

点评 本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．求出∠D=30°是解题的突破口．