Question

16．命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．
（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS；
（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．

Answer 1

分析 （1）根据AAS即可判断；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．首先证明△BDE≌△CDF（AAS），推出BE=CF，DE=DF，再证明Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF即可解决问题；

解答 解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，
故答案为AAS．

（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴BE=CF，DE=DF． 
在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．
∴AE=AF．
∴AE+BE=AF+CF．
即AB=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．