Question

7．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若eO的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）连接OC，则得出∠COD=2∠CAO=2∠D=60°，可求得∠OCD=90°，可得出结论；
（2）可利用△OCD的面积-扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．

解答 （1）证明：连接OC，则∠COD=2∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=4，OD=8，由勾股定理可求得CD=4$\sqrt{3}$，
所以S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
因为∠COD=60°，
所以S_扇形COB=$\frac{60π{×4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}π$，
所以S_阴影=S_△OCD-S_扇形COB=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}π$．

点评 本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．