Question

19．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出$\frac{DF}{DC}$=$\frac{QD}{OD}$．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG=$\frac{1}{2}$AC•BD，求出CG．据S_梯形APFD=$\frac{1}{2}$（AP+DF）•CG．S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=6，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=8．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{QD}{OD}$．
即$\frac{DF}{10}$=$\frac{t}{8}$，
∴DF=$\frac{5}{4}$t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10-t=$\frac{5}{4}$t，
解这个方程，得t=$\frac{40}{9}$．
∴当t=$\frac{40}{9}$s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S_菱形ABCD=AB•CG=$\frac{1}{2}$AC•BD，
即10•CG=$\frac{1}{2}$×12×16，
∴CG=$\frac{48}{5}$．
∴S_梯形APFD=$\frac{1}{2}$（AP+DF）•CG
=$\frac{1}{2}$（10-t+$\frac{5}{4}$t）•$\frac{48}{5}$=$\frac{6}{5}$t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴$\frac{QD}{OD}$=$\frac{QF}{OC}$．
即$\frac{t}{8}$=$\frac{QF}{6}$，
∴QF=$\frac{3}{4}$t．
同理，EQ=$\frac{3}{4}$t．
∴EF=QF+EQ=$\frac{3}{2}$t．
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•QD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t×t=$\frac{3}{4}$t²．
∴y=（$\frac{6}{5}$t+48）-$\frac{3}{4}$t²=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{6}{5}$t+48．
（3）如图2，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，
则-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{6}{5}$t+48=$\frac{17}{40}$×96，
即5t²-8t-48=0，
解这个方程，得t₁=4，t₂=-$\frac{12}{5}$（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴$\frac{PN}{AO}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BN}{BO}$，即$\frac{PN}{6}$=$\frac{4}{10}$=$\frac{BN}{8}$．
∴PN=$\frac{12}{5}$，BN=$\frac{16}{5}$．
∴EM=EQ-MQ=3-$\frac{12}{5}$=$\frac{3}{5}$．
PM=BD-BN-DQ=16-$\frac{16}{5}$-4=$\frac{44}{5}$．
在Rt△PME中，
PE=$\sqrt{P{M}^{2+}E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{44}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1945}}{5}$（cm）．

点评 本题主要考查了四边形的综合知识，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数与方程以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．