Question

11．如图，正方形ABCD中，E是BC中点，AE与BD相交于F，求证：CF⊥DE．

Answer 1

分析 如图，利用正方形的性质得BA=BC=CD，∠ABF=∠CBF=45°，则可根据“SAS”证明△ABF≌△CBF，得到∠1=∠2，再证明△ABE≌△DCE得到∠1=∠3，则∠2=∠3，由于∠2+∠4=90°，则∠3+∠4=90°，于是可判断CF⊥DE．

解答 证明：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC=CD，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠1=∠2，
∵E点为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
而∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠DGC=90°，
∴CF⊥DE．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．