Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD=CD=CB=b，由△BCD的周长是a，可得AB=a-b，由AB=AC，可得AC=a-b，进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a-b，
∵AB=AC，
∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．