题目内容

如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点D，经过C、D两点的直线与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

解：（1）∵C（0，3）和A（3，0）在抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）存在，点F的坐标为（2，3），
理由：∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴设直线CD的解析式为y=x+3．
在y=x+3中，当y=0时，x=-3，
∴E（-3，0）．
在y=-x²+2x+3中，当y=0时，x=-1或3，
∴B（-1，0），
∵以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴F点的坐标为（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．
代入抛物线的解析式，只有（2，3）符合．
∴存在点F，坐标为（2，3）；

（3）①当直线MN在x轴上方时，
设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，r），
∵N（r+1，r）在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-（r+1）²+2（r+1）+3=r，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不合，舍去），
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，-R）．
∵N（R+1，-R）在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-（R+1）²+2（R+1）+3=-R．
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不合，舍去），
综合①②可知，圆半径的长度为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由C（0，3）和A（3，0）在抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）上，利用待定系数法求解即可求得所求抛物线的解析式；
（2）首先求得抛物线的顶点D的坐标，然后求得直线CD的解析式，即可求得点E的坐标，根据平行四边形的判定定理，即可求得点F的坐标；
（3）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，设圆的半径为r，即可求得点N的坐标，将其代入函数解析式，即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定与性质，圆的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．