Question

如图，抛物线y=-ax²+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，得出的方程的根就是A、B的横坐标．
（2）根据抛物线的解析式可知：D（0，6a），C（1，6a），因此CD∥x轴，只需证AD=BC即可，过C作CE⊥AB，可通过证△AOD和△BEC全等来得出结论．
（3）如果∠CAB=∠ADO，则有△AOD∽△CEA，可通过相似三角形得出的对应成比例线段来求出a的值．

解答：（1）解：令y=0，则有0=-ax²+ax+6a，
解得x=-2，x=3．
∵A在x轴负半轴，B在x轴正半轴
∴A（-2，0），B（3，0）．

（2）证明：过C作CE⊥AB于E；
易知D（0，6a），C（1，6a）．
因此CD∥AB
∵AO=BE=2，OD=CE=6a，∠AOD=∠CEB=90°
∴△AOD≌△BEC
∴AD=BC
∴四边形ABCD是等腰梯形．

（3）解：∵∠CAB=∠ADO，∠AOD=∠AEC=90°
∴△DAO∽△AEC
∴

DO

AE

=

AO

EC

，
∵DO=EC=6a
∴36a²=AE•AO=3•2
∴a=±

6

6

∵D点在y轴正半轴，
∴6a＞0，即a＞0
∴a=

6

6

．

点评：本题中主要考查了二次函数的性质、等腰梯形的判定、全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点．