题目内容
已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），
与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用A、C的坐标，即可由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
（3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为
＞1，因此这种情况不成立．
（2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
（3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为
| 2 |
解答：
解：
（1）由题意，得
，（1分）
解得
；（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=x2+x-2．（3分）
（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
则S△MNC=
NC•OM
=
（2-2m）•m=-m2+m=-（m-
）2+
；（7分）
由x2+x-2=0，得x1=-2，x2=1；
∴点B的坐标为（1，0）．（8分）
则0＜m＜1，
∴当m=
时，S△MNC有最大值
，
此时，点M的坐标为（
，0），点N的坐标为（0，-1）．（9分）
（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-1，-1）；
由x2+x-1=-1，得x1=
，x2=
；
此时，点P的坐标为：（
，-1）或（
，-1）；（10分）
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=
．
∴F（-
，-
）．
由x2+x-2=-
，得x1=
，x2=
．
此时，点P的坐标为：(
，-
)或(
，-
)．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2
．
∴点O到AC的距离为
，而OF=OD=1＜
，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：(
，-1)或(
，-1)或(
，-
)或(
，-
)．（12分）
解：（1）由题意，得
|
解得
|
∴所求抛物线的解析式为：y=x2+x-2．（3分）
（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
则S△MNC=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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由x2+x-2=0，得x1=-2，x2=1；
∴点B的坐标为（1，0）．（8分）
则0＜m＜1，
∴当m=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
此时，点M的坐标为（
| 1 |
| 2 |
（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-1，-1）；
由x2+x-1=-1，得x1=
1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
此时，点P的坐标为：（
1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=
| 3 |
| 2 |
∴F（-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由x2+x-2=-
| 3 |
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
此时，点P的坐标为：(
-1+
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2
| 2 |
∴点O到AC的距离为
| 2 |
| 2 |
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：(
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件、等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
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