Question

6．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM=PN．过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线．已知角尺的夹角∠CPD=90°．

【初步思考】
（1）试说明工人师傅这样做的道理．
（2）李华同学动手操作，把角尺的直角顶点放在如图2的位置，使得ON=NP，同时PM⊥OA，求证：OP平分∠AOB．
【深入探究】
（3）张明同学认为当∠AOB=90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM=ON，直接移动角尺，使角尺的两边PC，PD分别与OA，OB相交于点M、N，且满足PM=PN，如图3，便可以得到OP平分∠AOB，你觉得张明的观点对吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得OP=OP．PM=PN，MO=NO，可利用SSS判定△OPM≌△OPN，进而可得OP平分∠AOB；
（2）首先判定MO∥DP，再根据平行线的性质可得∠OPN=∠POA，然后根据等边对等角可得∠OPN=∠PON，进而可得∠MOP=∠PON；
（3）过P作PE⊥AO，PF⊥BO，证明△EPM≌△FPN可得PE=PF，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可得结论．

解答 证明：（1）∵在△OPM和△OPN中$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{PM=PN}\\{MO=NO}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠MOP=∠PON，
∴OP平分∠AOB；

（2）∵PM⊥OA，
∴∠CMO=90°，
∵∠MPN=90°，
∴AO∥DP，
∴∠OPN=∠POA，
∵ON=NP，
∴∠OPN=∠PON，
∴∠MOP=∠PON，
∴OP平分∠AOB；

（3）对，
过P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∴∠PEO=∠PFD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPC+∠CPF=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠FPN+∠CPF=90°，
∴∠EPC=∠FPN，
在△EPM和△FPN中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFD}\\{∠EPM=∠FPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△FPN（AAS），
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的判定方法．