Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F．若BF=$\sqrt{3}$cm，则EF=3．

Answer 1

分析 过F作FG∥BC交AB于G，根据平行线的性质得到∠AGF=∠ABC=60°，∠AFG=∠ACB=90°，由三角函数的定义得到GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，通过△BFG∽△BAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{GF}{AE}=\frac{BF}{BE}$，同理$\frac{CF}{DE}=\frac{BF}{BE}$，等量代换得到$\frac{GF}{AE}=\frac{CF}{DE}$，根据正方形的性质得到AC=CD=DE=AE，证得GF=CF，求出GF=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$AE，即可得到结论．

解答 解：过F作FG∥BC交AB于G，
∴∠AGF=∠ABC=60°，∠AFG=∠ACB=90°，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
∵FG∥BC，
∴△BFG∽△BAE，
∴$\frac{GF}{AE}=\frac{BF}{BE}$，
同理$\frac{CF}{DE}=\frac{BF}{BE}$，
∴$\frac{GF}{AE}=\frac{CF}{DE}$，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AC=CD=DE=AE，
∴GF=CF，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$AE，
∵BF=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3}+$3，
∴EF=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．