Question

9．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：
（1）BF=DF．
（2）AE∥BD．
（3）若AB=6，BC=8，求AF的长，并求△FBD的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知∠EBD=∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB=∠DBC，于是∠EBD=∠ADB，故此BF=DF；
（2）由BE=AD，BF=FD，可知AF=EF，从而得到∠EAF=∠AEF，然后可证明∠AEF=∠EBD，从而可证明AE∥BD；
（3）设AF=x，则DF=BF=8-x，再求出BD的长，即可求出△FBD的周长和面积．

解答 解：（1）矩形ABCD得出AD∥BC，
∴∠ADB=∠FDB根据对折得，∠FDB=∠DBC
∴∠DBC=∠ADB，
∴BF=DF（等边对等角）
（2）∵AD=BC=BE，BF=DF，
∴AD-DF=BE-BF   即AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，
又∵∠AEF+∠EAF=∠ADB+∠FBD，
∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD；
（3）设AF=x，则DF=BF=8-x
在Rt△ABF中，AF²+AB²=BF²即6²+x²=（8-x）²
解得x=$\frac{7}{4}$．
在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BD=10，
所以，三角形FBD的周长为10+2FD=10+12.5=22.5，
三角形FBD的面积为S=12.5×6×$\frac{1}{2}$=$\frac{75}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．