Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t=2时，CD=

 

，AD=

 

；（请直接写出答案）
（2）当t=

 

时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．

解答：解：（1）t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=

AB2+BC2

=

202+152

=25，
AD=AC-CD=25-4=21；

（2）①∠CDB=90°时，S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

AB•BC，
即

1

2

×25•BD=

1

2

×20×15，
解得BD=12，
所以CD=

BC2-BD2

=

152-122

=9，
t=9÷2=4.5（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=12.5（秒），
综上所述，t=4.5或12.5秒；
故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；

（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，
CD=AD=

1

2

AC=

1

2

×25=12.5，
t=12.5÷2=6.25；
②CD=BC时，CD=15，t=15÷1=7.5；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=9，
CD=2CF=9×2=18，
t=18÷2=9，
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．