Question

18．如图，等边三角形ABC的顶点A，B落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象上，且AC⊥x轴于点C，点C坐标为（3，0），则k的值是（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点B作BD⊥x轴，由题意知点B坐标为（3，$\frac{k}{3}$），根据等边三角形可得AC=BC=$\frac{k}{3}$、∠ACB=60°，在Rt△BCD中解直角三角形可得点B坐标为（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$），将其代入解析式可得k的值．

解答 解：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，

∵AC⊥x轴于点C，点C坐标为（3，0），
∴设点B坐标为（3，$\frac{k}{3}$），
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=$\frac{k}{3}$，∠ACB=60°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴CD=BCcos∠BCD=$\frac{k}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，
BD=BCsin∠BCD=$\frac{k}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{k}{6}$，
则点B坐标为（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$），
将点B（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$得：（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$）$\frac{k}{6}$=k，
解得：k=0（舍）或k=6$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质及解直角三角形，根据题意表示出点B的坐标是解题的关键．