题目内容
已知，在锐角三角形纸片ABC中，直线EF∥BC，将纸片沿直线EF折叠，分别交线段AB，AC，AD于E，F，G，设点A落在平面上的点为P，则以E、F、P为顶点的三角形△EFP称为△AEF的“折叠三角形”．设在锐角三角形纸片ABC中，BC=4，高AD=3，EF=x．（1）如图，求线段AG的长（用x的代数式表示）；
（2）将纸片沿直线EF折叠，设点A落在平面上的点为P，△AEF的“折叠三角形”△PEF与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
考点：翻折变换（折叠问题）
专题：计算题
分析：（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比即可得到AG=
x；
（2）先根据折叠得到PG=AG=
x，再分类讨论：当P落在△ABC的内部，如图1，即x≤2，此时y=S△AEF，根据三角形面积公式得到y=
x2；当P落在△ABC的外部，如图2，PE、PF分别交BC于M、N点，先表示出PG=AG=
x，PA=2AG=
x，PD=PA-AD=
x-3，DG=AD-AG=3-
x，再证明△PMN∽△PEF，利用相似比表示出MN=2x-4，此时y=S梯形MNFE，根据梯形的面积公式得到y=-
x2+6x-6（2＜x≤3）．
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（2）先根据折叠得到PG=AG=
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| 8 |
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解答：
解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
∴AG=
x（0＜x≤3）；
（2）∵三角形△EFP称为△AEF的“折叠三角形”，
∴PG=AG，
当P落在△ABC的内部，如图1，即AP≤AD，则2•
x≤3，解得x≤2，此时y=S△AEF=
EF•AG=
•x•
x=
x2；
当P落在△ABC的外部，如图2，PE、PF分别交BC于M、N点，则PG=AG=
x，PA=2AG=
x，PD=PA-AD=
x-3，DG=AD-AG=3-
x，
∵MN∥EF，
∴△PMN∽△PEF，
∴
=
，即
=
，
∴MN=2x-4，
∴y=S梯形MNFE=
（MN+EF）•DG
=
（2x-4+x）•（3-
x）
=-
x2+6x-6（2＜x≤3），
综上所述，y关于x的函数关系为：y=
．
解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴
| AG |
| AD |
| EF |
| BC |
| AG |
| 3 |
| x |
| 4 |
∴AG=
| 3 |
| 4 |
（2）∵三角形△EFP称为△AEF的“折叠三角形”，
∴PG=AG，
当P落在△ABC的内部，如图1，即AP≤AD，则2•
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
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当P落在△ABC的外部，如图2，PE、PF分别交BC于M、N点，则PG=AG=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∵MN∥EF，
∴△PMN∽△PEF，
∴
| MN |
| EF |
| PD |
| PG |
| MN |
| x |
| ||
|
∴MN=2x-4，
∴y=S梯形MNFE=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
=-
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| 8 |
综上所述，y关于x的函数关系为：y=
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点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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给出如图．
如图，在网格中有△ABC，将点A平移到点P，画出△ABC平移后的图形．