题目内容

已知，在锐角三角形纸片ABC中，直线EF∥BC，将纸片沿直线EF折叠，分别交线段AB，AC，AD于E，F，G，设点A落在平面上的点为P，则以E、F、P为顶点的三角形△EFP称为△AEF的“折叠三角形”．设在锐角三角形纸片ABC中，BC=4，高AD=3，EF=x．
（1）如图，求线段AG的长（用x的代数式表示）；
（2）将纸片沿直线EF折叠，设点A落在平面上的点为P，△AEF的“折叠三角形”△PEF与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
考点：翻折变换（折叠问题）
专题：计算题
分析：（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比即可得到AG=
3
4
x；
（2）先根据折叠得到PG=AG=
3
4
x，再分类讨论：当P落在△ABC的内部，如图1，即x≤2，此时y=S△AEF，根据三角形面积公式得到y=
3
8
x2；当P落在△ABC的外部，如图2，PE、PF分别交BC于M、N点，先表示出PG=AG=
3
4
x，PA=2AG=
3
2
x，PD=PA-AD=
3
2
x-3，DG=AD-AG=3-
3
4
x，再证明△PMN∽△PEF，利用相似比表示出MN=2x-4，此时y=S梯形MNFE，根据梯形的面积公式得到y=-
9
8
x2+6x-6（2＜x≤3）．
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
AG
AD
=
EF
BC
，即
AG
3
=
x
4
，
∴AG=
3
4
x（0＜x≤3）；
（2）∵三角形△EFP称为△AEF的“折叠三角形”，
∴PG=AG，
当P落在△ABC的内部，如图1，即AP≤AD，则2•
3
4
x≤3，解得x≤2，此时y=S△AEF=
1
2
EF•AG=
1
2
•x•
3
4
x=
3
8
x2；
当P落在△ABC的外部，如图2，PE、PF分别交BC于M、N点，则PG=AG=
3
4
x，PA=2AG=
3
2
x，PD=PA-AD=
3
2
x-3，DG=AD-AG=3-
3
4
x，
∵MN∥EF，
∴△PMN∽△PEF，
∴
MN
EF
=
PD
PG
，即
MN
x
=
3
2
x-3
3
4
x
，
∴MN=2x-4，
∴y=S梯形MNFE=
1
2
（MN+EF）•DG
=
1
2
（2x-4+x）•（3-
3
4
x）
=-
9
8
x2+6x-6（2＜x≤3），
综上所述，y关于x的函数关系为：y=
3
8
x2(0＜x≤2)
-
9
8
x2+6x-6(2＜x≤3)
．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的判定与性质．
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平移
 
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．
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9a
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