Question

在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：
①BD平分∠CDE；②2AB+EF=4

2

AD；③（

2

-1）CD=DE；④CF：AE=（

2

+1）：1．
其中正确的是（　　）

• A、①②④
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：（1）利用四边形BCDE是圆的内接四边形得出BD平分∠CDE
（2）延长CE和GA交于点M，先求出EF=2EA，再利用线段关系求解．

解答：解：（1）∵四边形ABCG是矩形，DE⊥DC，
∴∠EBD+∠EDC=90°+90°=180°，
∠BED+∠EDC=180°，
∴BCDE是圆的内接四边形，
又∵BE=BC，
∴∠EDB=∠CDB，
∴BD平分∠CDE，

（2）延长CE和GA交于点M，

∵∠CBE=∠EDC=90°，
∴BCDE是圆的内接四边形，
∵∠BDC=∠BEC=45°，
∴∠EDF=90°-45°=45°=∠BEC，
又∵∠EBD是三角形BEF和BDE的公共角，
∴三角形BEF和BDE相似，
得EF：ED=BE：BD 可推得 EF：BE=ED：BD，
用角的性质再证明三角形EAD和DAB相似，
得EA：AD=ED：BD=EF：BE，
∵点D是AG的中点，BE=BC，
∴AD=

1

2

AG=

1

2

BC=

1

2

BE，
∴EF：EA=BE：AD=2，
∴EF=2EA，
∵CG=AB，
∴AB=GM，
AB=2AD+AM，
∵EA=EM=

1

2

EF，
∴AB=2AD+

1

2

EF，
∴2AB=4AD+EF，
∴②2AB+EF=4

2

AD不正确．
只有C不含②
故选：C．

点评：本题主要考查矩形的性质及相似三角形的知识，也可运用圆的内接四边形求解．