Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），对角线AC、BD交于点O，∠BOC=60°且E、F分别为OA、OB的中点，M为CD的中点，求证：△EFM是等边三角形．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等边三角形的判定,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接DE、CF，如图，先根据等腰梯形的性质得AB=DC，OA=OD，OB=OC，再由∠BOC=60°可判断△OBC和△OAD都为等边三角形，则根据等腰三角形的性质由
E、F分别为OA、OB的中点得到DE⊥OA，CF⊥OB，接着根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EM=

1

2

CD，FM=

1

2

CD；然后利用三角形中位线性质得到EF=

1

2

AB=

1

2

CD，所以EF=EM=FM，于是可判断△EFM为等边三角形．

解答：证明：连接DE、CF，如图，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
∴AB=DC，OA=OD，OB=OC，
∵∠BOC=60°，
∴△OBC和△OAD都为等边三角形，
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴DE⊥OA，CF⊥OB，
在Rt△CDE中，∵点M为斜边CD的中点，
∴EM=

1

2

CD，
同理可得FM=

1

2

CD，
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF=

1

2

AB，
∴EF=

1

2

CD，
∴EF=EM=FM，
∴△EFM为等边三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．也考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线性质和直角三角形斜边上的中线性质．