题目内容
9．如图1．直线y=-x+4b与y轴、x轴分别交于A、B两点，P为线段AB上-动点，连OP，以OP为直角边作等樱直角△OPE，OE交AB于Q点．（1）求证：PQ2=AP2+BQ2；
（2）随机向在平面直角坐标系中投入点，其中落入△AOP与落入△AOB的概率之比为1；4（落在边上的不计入总数），求$\frac{PQ}{AP}$的值；
（3）如图2，连接BE，当点P在线段AB上移动时，在随机向在平血直角坐标系中投人点（落在边上的不计入总数）其中落入△AOP与落入△BOP的概率之比的值为多少时，使得OB=2BE成立？写出你的结论，并证明．
分析 （1）将△OQB绕点O逆时针旋转90°得到△OQ′A，如图1所示，连接PQ′，根据直线AB解析式得到三角形AOB为等腰直角三角形，确定出三角形APQ′为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，利用SAS得到三角形OPQ′与三角形OPQ全等，利用全等三角形对应边相等得到PQ′=PQ，等量代换即可得证；
（2）由三角形AOP与三角形AOB面积之比，以及两三角形高相同，求出AP与AB之比，设AP=a，PQ=b，根据第一问结论，利用勾股定理列出a与b的关系式，即可求出所求之比；
（3）当EB∥OA，可得△EBQ∽△OAQ，根据OB=2BE，列出比例式，设出AP=a，BQ=b，利用勾股定理列出a与b的关系式，进而求出AP与PB之比，即为所求概率之比．
解答 （1）
证明：将△OQB绕点O逆时针旋转90°得到△OQ′A，如图1所示，连接PQ′，
∵直线AB解析式为y=-x+4b，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠OAP+∠OAQ′=90°，
由旋转可得AQ′=BQ，△Q′AP为直角三角形，
∴Q′A2+AP2=Q′P2，即BQ2+AP2=PQ′2，
∵∠1+∠2=45°，∠2=∠3，
∴∠1+∠3=45°，即∠Q′OP=∠QOP=45°，
在△OPQ′和△OPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠POQ′=∠POQ}\\{OQ=OQ′}\end{array}\right.$，
∴△OPQ′≌△OPQ（SAS），
∴PQ′=PQ，
则PQ2=BQ2+AP2；
（2）解：由题意得到$\frac{{S}_{△AOP}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
设AP=a，PQ=b，则有AB=4a，PB=3a，
由PQ2=BQ2+AP2，得到b2=a2+（3a-b）2，
化简得：b=$\frac{5}{3}$a，
∴$\frac{PQ}{AP}$=$\frac{5}{3}$；
（3）解：当EB∥OA，可得△EBQ∽△OAQ，
由OB=2BE得：$\frac{BQ}{QA}$=$\frac{EB}{AO}$=$\frac{EB}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
设AP=a，BQ=b，则有AQ=2b，PQ=2b-a，
根据勾股定理得：（2b-a）2=a2+b2，
整理得：3a=4b，即a=$\frac{4}{3}$b，
∵PB=BQ+PQ=b+2b-a=3b-a=$\frac{5}{3}$b，
∴AP：PB=a：$\frac{5}{3}$b=$\frac{4}{3}$b：$\frac{5}{3}$b=4：5，
则落入△AOP与落入△BOP的概率之比的值4：5时，OB=2BE成立．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
名校课堂系列答案
已知，∠α，线段a、b，求作△ABC，使图∠C=∠α，BC=a，AC=b（尺规作图）
等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G是BC上一点，CF⊥AG于E，BF⊥CF，D为AB中点，连接DF．
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在四边形对角线BD上的点G处，EG的延长线交直线BC于点F．
如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上的一点，连接AC，CE，使AB=AC．