Question

5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，若AB=BE．
（1）求证：DC=DE；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求cos∠OEB．

Answer 1

分析 （1）先根据AB=BE得出∠A=∠AEB，再由圆内接四边形的性质得出∠A=∠DCE，故可得出∠DCE=∠AEB，据此可得出结论；
（2）先根据CD=DE，△CDE是等腰三角形，再由垂径定理可知EO是CD的垂直平分线，故可得出△DCE是等边三角形，据此可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=BE，
∴∠A=∠AEB．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠DCE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴DC=DE；

（2）解：∵CD=DE，
∴△CDE是等腰三角形．
∵EO⊥CD，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠OEB=30°，
∴cos∠OEB=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．