Question

16．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（4，0），点C的坐标为（m，$\sqrt{3}$m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．

解答 解：如图所示：
∵点C的坐标为（m，$\sqrt{3}$m）（m为非负数），
∴点C的坐标所在直线为y=$\sqrt{3}$x，
点A关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把点A的坐标（ 2，0 ）代入得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2+b=0，
解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故AA′所在直线为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
联立C的坐标所在直线和AA′所在直线可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴C的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴点A关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点的坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
∴A′B=$\sqrt{（4+1）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
即CA+CB的最小值．
故选D．

点评 本题考查轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．