Question

18．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．以AB为直径的半⊙O分别与
AC、CD相交于点E、F，连接AF、EF．
（1）求证：∠AFE=∠ACD；
（2）若CE=4，CB=4$\sqrt{5}$，tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，求FD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据余角的性质得到∠ABE=∠ACD，等量代换即可得到结论；
（2）连接OF，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$=8，根据三角函数的定义得到sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CAD+ABE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD；

（2）连接OF，
∵∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{C{B}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∵AC=AE+CE=10，
∴CD=8，
∴AD=6，
∵OD=AD-OA=1，
∴OF=5，
∴DF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．