Question

8．如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，C是⊙O上一点，D是$\widehat{BC}$的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）填空：
①当BE=6时，点C是AF的中点；
①当BE=3时，四边形OBDC是菱形．

Answer 1

分析 （（1）连接OD，由ED为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD⊥ED，由D是$\widehat{BC}$的中点，由垂径定理得到OD⊥BC，又由EF∥BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由平行线的性质得到结论；
（2）①根据平行线平分线段定理，当B为AE的中点时，点C是AF的中点；
②由切线的性质可证得OD⊥EF，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BD=OB=BE，由D是$\widehat{BC}$的中点，得到CD=BD，由此得到CD=BD=BO=OD．

解答 解：（1）连接OD，BD，BC，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，
∴EF∥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AF⊥EF；

（2）①当BE=6时，
解：由（1）知，BC∥EF，当AB=BE时，AC=CF，
∴当BE=6时，点C是AF的中点，
故答案为：6；
②当BE=3时，
解：∵AB是⊙O的直径，AB=6，
∴OB=OD=OC=BE=3，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴BD=OB=BE，
∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BD=BO=OD，
四边形OBDC是菱形．
故答案为：3．

点评 本题考查了切线的性质，直径所对圆周角的性质，平行线的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是正确的作出辅助线．