Question

17．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．

解答 解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
$\left\{\begin{array}{l}{PC=P′C}\\{∠PCB=∠P′CA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+AP²=P′A²，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′=$\frac{PP′}{P′A}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．