Question

5．是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 利用根与系数的关系x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=4，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．

解答 解：∵x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=4，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-8=2，
解得：m₁=-1+$\sqrt{10}$，m₂=-1-$\sqrt{10}$，
∵当m₁=-1+$\sqrt{10}$，m₂=-1-$\sqrt{10}$时，
△=＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于2．

点评 此题考查了根与系数的关系与判别式．此题难度适中，注意掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．