Question

3．如图，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH；②DH=2$\sqrt{2}$EH；③HO=$\frac{1}{2}$AE；④BC-BF=$\sqrt{2}$EH
其中正确命题的序号是①③（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=$\sqrt{2}$CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，求出HE=$\sqrt{2}-1$，得到2$\sqrt{2}$HE=$2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）$≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=（CD+EH）-（CD-EH）=2EH，从而得到④错误．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴HE=$\sqrt{2}-1$，
∴2$\sqrt{2}$HE=$2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）$≠1，
故②错误；
∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CD，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE，
故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠HCE=22.5°}\\{∠FAH=∠HEC=45°}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△EHC，
∴AF=EH，
在△ABE与△AHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{∠BEA=∠HEA}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，
∴BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=（CD+EH）-（CD-EH）=2EH，
故④错误，
故答案为：①③．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．