观察与探究:仔细观察下面一列图形.分别是由面积为l的小正方形拼成的正方形．根据你发现的规律填空:(1)按着这样的规律.第8个图形中面积为1的小正方形的个数有64个,(2)由各图的面积计算可得到:1+3+5+7+-+=n2．迁移应用:观察下面各组式子:1.3+5.7+9+11.13+15+17+19.21+23+25+27+29.-试求第10个式子的和,综合拓� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．观察与探究：仔细观察下面一列图形，分别是由面积为l的小正方形拼成的正方形．

根据你发现的规律填空：
（1）按着这样的规律，第8个图形中面积为1的小正方形的个数有64个；
（2）由各图的面积计算可得到：1+3+5+7+…+（2n-1）=n²．（用n表示，n是正整数）
迁移应用：
观察下面各组式子：1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，21+23+25+27+29，…试求第10个式子的和；
综合拓展：综合以上发现，尝试计算：1³+2³+3³+…+100³．

分析（1）第1个图形中面积为1的小正方形的个数有1个；第2个图形中面积为1的小正方形的个数有1+3=4个；第3个图形中面积为1的小正方形的个数有1+3+5=9个；…由此得出第n个图形中面积为1的小正方形的个数有n²个；进一步代入求得答案即可；
（2）由（1）的规律得出答案即可；
综合拓展：把n³拆成n个连续奇数的和，且第一个奇数为n（n+1）+1，最大的奇数为n（n+1）+1+2（n-1），进一步利用（1）中的规律得出答案即可．

解答解：（1）第8个图形中面积为1的小正方形的个数有1+3+5+7+9+11+13+15=64个；
（2）1+3+5+7+…+（2n-1）=n²．
1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，21+23+25+27+29，…试求第10个式子的和；
综合拓展：1³+2³+3³+…+100³．
=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+…10101+10103+…+10299
=5150²
=26522500．

点评此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

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（1）写出第n个式子；
（2）利用规律计算：$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$；
（3）利用规律计算：$\frac{1}{x（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$+…+$\frac{1}{（x-99）（x-100）}$．

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