题目内容
16．
如图，一次函数y=$\frac{1}{3}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象交于点A，将一次函数y=$\frac{1}{3}$x的图象向上平移3个单位得到一次函数y=ax+b的图象，它与y轴交于点C，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象交于点B，已知OA=2BC．（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出：当ax+b-$\frac{k}{x}$＜0（k＞0）时，x的取值范围．
分析 （1）由平移可直接求得BC的解析式，设OE=x，则OD=3x，可表示出A、B坐标，代入反比例函数解析式可求得x的值，可求得k．
（2）由图象可知，当0＜x＜3时，直线y=ax+b在反比例函数图象的下方，即可得出ax+b-$\frac{k}{x}$＜0（k＞0）时，x的取值范围．
解答 
解：（1）分别过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，CF⊥BE于点F，
∵直线BC是直线y=$\frac{1}{3}$x向上平移3个单位得到，
∴直线BC解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，
易证得△BCF∽△AOD，
∴$\frac{CF}{OD}$=$\frac{BC}{OA}$，
∵OA=2BC，
∴OD=2CF=2OE，
设OE=x，则OD=2x，
∴B点坐标为（x，$\frac{1}{3}$x+3），A点坐标为（2x，$\frac{2}{3}$x），
又∵A、B两点都在反比例函数图象上，
∴x（$\frac{1}{3}$x+3）=2x×$\frac{2}{3}$x，解得x=0（舍去）或x=3，
∴B点坐标为（3，4），
∴k=3×4=12．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$（x＞0）．
（2）当ax+b-$\frac{k}{x}$＜0（k＞0）时，x的取值范围是0＜x＜3．
点评 本题主要考查平移的性质和函数图象的交点，掌握函数解析式中的“左加右减、上加下减”是解题的关键，注意A、B两点横坐标的关系是解题的关键．
练习册系列答案
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