Question

19．已知$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，根据你发现的规律，回答下列问题．
（1）写出第n个式子；
（2）利用规律计算：$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$；
（3）利用规律计算：$\frac{1}{x（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$+…+$\frac{1}{（x-99）（x-100）}$．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出第n个等式即可；
（2）原式利用得出的拆项方法变形，抵消合并即可得到结果；
（3）原式利用得出的拆项方法变形，抵消合并即可得到结果．

解答 解：（1）第n个式子为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+…+$\frac{1}{x+99}$-$\frac{1}{x+100}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+100}$=$\frac{100}{x（x+100）}$；
（3）原式=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-100}$-$\frac{1}{x-99}$=$\frac{1}{x-100}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-x+100}{x（x-100）}$=$\frac{100}{x（x-100）}$．

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．