Question

13．如图，抛物线y=-x²+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入解析式，计算即可；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答；
（3）分PB=PA、PA=AB两种情况，根据等腰三角形的性质解答．

解答 解：（1）由题意得，-1+5+n=0，
解得，n=-4，
∴抛物线的解析式为y=-x²+5x-4；
（2）y=-x²+5x-4=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
抛物线对称轴为：x=$\frac{5}{2}$，
顶点坐标为 （$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，-4），
∴OA=1，OB=4，
在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
①当PB=PA时，PB=$\sqrt{17}$，
∴OP=PB-OB=$\sqrt{17}$-4，
此时点P的坐标为（0，$\sqrt{17}$-4），
②当PA=AB时，OP=OB=4
此时点P的坐标为（0，4）．

点评 本题考查的是待定系数法求函数解析式、定义三角形的性质，掌握待定系数法求出函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．