Question

1．把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠CAB=45°，∠CDE=30°，且AB=6，DC=7，把△DCE绕点C顺时针旋转15°得△D₁CE₁，如图2，这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．

（1）求∠ACD₁的度数；
（2）求线段AD₁的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出∠BCE₁=15°，进而求出∠D₁CB的度数，进而得出答案；
（2）根据已知得出OD₁的长，进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）∵把△DCE绕点C顺时针旋转15°得△D₁CE₁，
∴∠BCE₁=15°，
∴∠D₁CB=60°-15°=45°，
∴∠AC D₁=45°；

（2）∵∠AC D₁=∠BC D₁=45°
且AC=CB∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=3，C D₁⊥AB
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=3∴O D₁=7-3=4
在Rt_△AO D₁中有AO²+O D₁²=A D₁²
∴A D₁=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出O D₁的长是解题关键．