Question

17．如图，直线y=$\frac{1}{3}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=$\frac{1}{3}$x向上平移$\frac{16}{3}$个长度单位后，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点B．若S_ABO=16，则k的值为12．

Answer 1

分析 作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，交OA于C，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S_ABO=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）•（x₁-x₂）=16，得出x₁y₂-x₂y₁=32，然后根据△ONC∽△OMA，对应边成比例得出x₁y₂-x₂y₁=$\frac{16}{3}$x₁，从而得出$\frac{16}{3}$x₁=32，求得A的坐标，即可求得k的值．

解答 解：∵直线y=$\frac{1}{3}$x向上平移$\frac{16}{3}$个长度单位后的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，交OA于C，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_ABO=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）•（x₁-x₂）=16，
∴x₁y₁-x₂y₁+x₁y₂-x₂y₂=32，
∵A、B是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上的点，
∴k=x₁y₁=x₂y₂，
∴x₁y₂-x₂y₁=32，
∴AM∥BN，
∴△ONC∽△OMA，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-\frac{16}{3}}{{y}_{1}}$，
∴x₁y₂-x₂y₁=$\frac{16}{3}$x₁，
∴$\frac{16}{3}$x₁=32，
∴x₁=6，
把x=6代入y=$\frac{1}{3}$x得，y=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴A（6，2），
∴k=6×2=12．
故答案为12．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得三角形AOB的面积等于梯形ABNM的面积是本题的关键．