Question

已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，
（1）求证：OD∥BC；  
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的长；
（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，再根据垂径定理，由D为弧AC中点得到OD⊥AC，则∠AFO=90°，于是根据平行线的判定方法即可得到OD∥BC；
（2）先判断OF为△ACB的中位线，则OF=

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2

BC=3cm，然后利用DF=OD-OF求解；
（3）由OF为△ACB的中位线得到AF=CF，再证明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=

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2

AC．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵D为弧AC中点，
∴OD⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∴OD⊥BC；
（2）解：∵OF∥BC，
而OA=OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF=

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BC=3cm，
∴DF=OD-OF=5cm-3cm=2cm；
（3）解：DE=

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2

AC．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和三角形中位线性质．