Question

已知AB是⊙O的弦，EF切⊙O于B，AC⊥EF于C，求证：AB²=2AC•AO．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：如图，作直径AD，连结OB、BD，先根据切线的性质得OB⊥AC，加上AC⊥EF，则OB∥AC，根据平行线的性质得∠2=∠3，易得∠1=∠2，再根据圆中由AD为直径得到∠ABD=90°，于是可证得Rt△ABD∽Rt△ACB，利用相似比得AB²=AC•AD，再把AD=2AO代入即可得到结论．

解答：证明：如图，作直径AD，连结OB、BD，
∵EF切⊙O于B，
∴OB⊥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△ACB，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∴AB²=AC•AD，
而AD=2AO，
∴AB²=2AC•AO．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．