Question

如图，抛物线y=x²+mx+（m-1）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，c），且满足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）利用根与系数的关系，等式x₁²+x₂²+x₁x₂=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．
（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．

解答：解（1）依题意：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，
∵x₁²+x₂²+x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，
∴（-m）²-（m-1）=7，
即m²-m-6=0，
解得m₁=-2，m₂=3，
∵c=m-1＜0，∴m=3不合题意
∴m=-2
抛物线的解析式是y=x²-2x-3；


（2）能
如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．
若∠POC=∠PCO
则PD应是线段OC的垂直平分线
∵C的坐标为（0，-3）
∴D的坐标为（0，-

3

2

）
∴P的纵坐标应是-

3

2

令x²-2x-3=-

3

2

，解得，x₁=

2- 10

2

，x₂=

2+ 10

2

因此所求点P的坐标是（

2- 10

2

，-

3

2

），（

2+ 10

2

，-

3

2

）

点评：本题考查了根与系数的关系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识．