Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD=CE；
（2）若AB=4，BC-AC=2，分别求弦BC、AE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，而DC=BC，根据等腰三角形的判定方法得到AB=AD，则∠D=∠B，由圆周角定理可得∠E=∠B，所以∠D=∠E，于是根据等腰三角形的判定即可得到CD=CE；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理得到（BC-2）²+BC²=4²，解得BC=1+

7

，则BD=2BC=2+2

7

，再证明△CDE∽△ADB，利用相似比可计算出DE=4+

7

，而AD=AB=4，所以AE=DE-AD=

7

．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DC=BC，
∴AB=AD，
∴∠D=∠B，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE；
（2）在Rt△ACB中，AB=4，BC-AC=2，即AC=BC-2，
∵AB²=AC²+BC²，
∴（BC-2）²+BC²=4²，
整理得BC²-2BC-6=0，解得BC=1+

7

（BC=1-

7

舍去），
∴BD=2BC=2+2

7

，
∵∠D=∠D，∠B=∠E，
∴△CDE∽△ADB，
∴

DE

DB

=

CD

AB

，即DE=

(2+2 7 )(1+ 7 )

4

=4+

7

，
∵AD=AB=4，
∴AE=DE-AD=4+

7

-4=

7

，
∴弦BC、AE的长分别为1+

7

，

7

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．