Question

13．已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）先由求根公式得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，则二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-$\frac{1}{k}$和-3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．

解答 （1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当k≠0时，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
x=$\frac{-（3k+1）±（3k-1）}{2k}$，
x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，
所以二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-$\frac{1}{k}$和-3，
根据题意得-$\frac{1}{k}$为整数，
所以整数k为±1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点．