Question

已知直线y=﹣x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+mx+n经过A点，且与直线y=﹣x+6交于另一点P．

（1）若P与B点重合，求抛物线的解析式；

（2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式；

（3）若△OAP为等腰三角形，求m的值．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）分别令x、y=0，可求出B、A点的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；

（2）由四边形PEOF面积为5可得出P点的坐标，结合A点的坐标利用待定系数法即可求得结论；

（3）设出P点坐标，由两点间的距离公式表示出△OAP的三条边，再分类讨论相邻两边相等得出结论．

【解答】解：（1）令x=0，则y=6；

令y=0，则﹣x+6=0，解得：x=6．

故A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）．

∵P与B点重合，

∴有，解得：．

故当P与B点重合，抛物线的解析式为y=x²﹣7x+6．

（2）结合题意画出图形，如图1所示．

∵点P在线段AB上，

∴设P点坐标为（a，﹣a+6）（0＜m＜6），则有PE=6﹣m，PF=m．

四边形PEOF面积=PE•PF=（6﹣a）×a=5，

解得：a=1，或a=5，

即点P的坐标为（1，5）或（5，1）．

当点P坐标为（1，5）时，有，

解得：，

此时抛物线的解析式为y=x²﹣8x+12；

当点P坐标为（5，1）时，有，

解得：，

此时抛物线的解析式为y=x²﹣12x+36．

综上可知，抛物线的解析式为y=x²﹣8x+12或者y=x²﹣12x+36．

（3）设点P的坐标为（b，6﹣b）．

∵点O（0，0），点A（6，0），

∴OP=，OA=6﹣0=6，PA=．

∵△OAP为等腰三角形，

∴分三种情况考虑．

①当OP=OA时，有=6，

解得：b=0，或b=6（舍去），

此时P点的坐标为（0，6）．

同（1）一样，故m=﹣7；

②当OP=PA，即=，

解得：b=3，

此时P点的坐标为（3，3）．

将P（3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=﹣10；

③当OA=PA时，有6=，

解得：b=6±3，

此时P点的坐标为（6+3，﹣3）或（6﹣3，3）．

将P（6+3，﹣3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=﹣3﹣13；

将P（6﹣3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=3﹣13．

综上可知：当△OAP为等腰三角形，m的值为﹣7，﹣10，﹣3﹣13和3﹣13．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、长方形的面积公式、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用长方形的面积找出P点的坐标；（3）由两点间的距离公式分类讨论相邻两边相等的情况．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度也不大，单运算过程很繁琐，这就需要极大的耐心一步步运算．