Question

18．如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=5米，AB=8米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°．
（1）若中间平台高度DM为3米，求中间平台宽度DE的长．（结果保留根号）
（2）若中间平台宽度DE为2米，求DM和BC之间的水平距离BM的长．（结果保留整米数，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）首先求出DF的长，再求出AN的长即可得出DE的长；
（2）设BM=x，分别表示出EN，BF，AN的长，进而利用AB=AN+DE+DF，求出即可．

解答 解：（1）∵BC=5m，DM=3m，
∴DF=2（m），
∵∠EAB=30°，EN=DM=3m，
∴tan30°=$\frac{EN}{AN}$，
∴AN=$3\sqrt{3}$，
∴DE=AB-AN-BM=6-$3\sqrt{3}$．
答：中间平台宽度DE的长（6-3$\sqrt{3}$）m；

（2）设BM=x，
∵∠CDF=45°，∠CFD=90°，
∴CF=DF=x，
∴BF=BC-CF=5-x，
∴EN=DM=BF=（5-x），
∵AB=8，DE=2，BM=DF=x，
∴AN=（5-x）$\sqrt{3}$，
得方程（5-x）$\sqrt{3}$+2+x=8；
解方程得x=$\frac{{5\sqrt{3}-6}}{{\sqrt{3}-1}}$≈4．
答：支柱DM距BC的水平距离约为4米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．