Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，点E在边AC上，过点E作EF⊥AB交AB于点F，EH∥AB交BC于点H，边点H作HG⊥AB于点G，设EF=x．
（1）当x为何值时，△AEF与△CEH全等，并说明理由；
（2）点P为EH上一点，且∠FPG=90°，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由△AFE∽△ACB，推出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，推出$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，推出AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，由△AEF与△CEH全等，∠A=∠CEH，推出EC=AF，可得6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，解方程即可．
（2）以FG为直径作⊙O，作OM⊥EH于M．当OM≤OF时，EH上存在点P，使得∠FPG=90°，列出不等式即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∵∠A=∠A．∠AFE=∠C=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，
∵△AEF与△CEH全等，∠A=∠CEH，
∴EC=AF，
∴6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
∴x=3．

（2）以FG为直径作⊙O，作OM⊥EH于M．
当OM≤OF时，EH上存在点P，使得∠FPG=90°，
∵△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EH}{AB}$，
∴EH=$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{120}{49}$，∵x＞0，
∴0＜x≤$\frac{120}{49}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形、圆的有关知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用辅助圆解决直角问题，属于中考常考题型．