Question

12．如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，AC=6，∠ABC=90°，点P是AC边上有一点D，使PB=PD．
（1）当点P运动到AC中点时，求BP的长；
（2）若∠BPD=45°，请证明：AC=AB+CD；
（3）如图，过点D作DE⊥线段AC于E．
①试猜想线段PE与AC的数量关系，并说明理由．
②当AP=3-$\sqrt{3}$时，∠BPD为30°．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）过B作BO⊥AC于O，当点P运动到AC中点时，即点P与O重合，于是得到PB=BO，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠PBD=∠PDB=62.5°，由∠C=45°，得到∠BPC=∠PDB=62.5°，推出AB=PC，证得△ABP≌△PCD，根据全等三角形的性质得到AP=CD，即可得到结论；
（3）①PE=$\frac{1}{2}$AC，根据等腰三角形的性质得到∠2=∠PBD，由等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，求得∠1=45°，推出∠3=∠4，证得△BPO≌△PDE，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；②根据等腰三角形的性质得到∠1=45°，得到∠3=30°，根据三角函数得到OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BO=$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：（1）过B作BO⊥AC于O，
当点P运动到AC中点时，即点P与O重合，
∴PB=BO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PB=BO=$\frac{1}{2}$AC=3；

（2）∵∠BPD=45°，
PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB=62.5°，
∵∠C=45°，
∴∠BPC=∠PDB=62.5°，
∴BC=PC，∠APB=∠PDC，
∴AB=PC，
在△ABP与△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠APB=∠PDC}\\{AB=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PCD，
∴AP=CD，
∴AC=AP+PC=AB+CD；

（3）①PE=$\frac{1}{2}$AC，
∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOP=∠PED}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE，
∴PE=BO=$\frac{1}{2}$AC；
②∵∠BPD=30°，
∴∠PBD=∠PDB=75°，
∵∠1=45°，
∴∠3=30°，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BO=$\sqrt{3}$，
∴AP=OA-OP=3-$\sqrt{3}$．
∴当AP=3-$\sqrt{3}$时，∠BPD为30°．
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．