Question

7．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点F在AC的中点，AD⊥BF，垂足为E，若DE=2，则△ADF的面积为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G，求出∠ABF=∠CAG，然后利用“角边角”证明△ABF和△CAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CG，全等三角形对应角相等可得∠G=∠AFB，从而得到∠CFD=∠G，再求出∠DCF=∠DCG=45°，然后利用“角角边”证明△CDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，DG=DF，然后等量代换得到AF=CF，设EF=x，然后表示出AE、BE、BF，再表示出DF，然后利用勾股定理列出方程求出x，从而得到AD、EF，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAG，
在△ABF和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CAG}\\{AB=AC}\\{∠BAF=∠ACG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴AF=CG，∠G=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CFD=∠G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，CG⊥AC，
∴∠DCF=∠DCG=45°，
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠G}\\{∠DCF=∠DCG}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CG=CF，DG=DF，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，
设EF=x，则AE=2x，BE=2AE=4x，
AG=BF=BE+EF=4x+x=5x，
∵DE=2，
∴DF=DG=5x-2x-2=3x-2，
在Rt△DEF中，DE²+EF²=DF²，
2²+x²=（3x-2）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
所以，AE=2×$\frac{3}{2}$+2=5，
△ADF的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．