Question

20．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．

解答 解：（1）证明：连结DO．

∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO=90°，
∴ED²+OD²=OE²，
∴3²+R²=（R+1）²，
解得R=4，
∴⊙O的半径为4．

点评 本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾股定理列出关于r的方程是解题的关键．