Question

10．如图，四条直线l₁：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，l₂：y₂=$\sqrt{3}$x，l₃：y₃=-$\sqrt{3}$x，l₄：y₄=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，OA₁=1，过点A₁作A₁A₂⊥x轴，交l₁于点A₂，再过点A₂作A₂A₃⊥l₁交l₂于点A₃，再过点A₃作A₃A₄⊥l₂交y轴于点A₄…，则点A₂₀₁₇坐标为（（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁶，0）．

Answer 1

分析 先利用各直线的解析式得到x轴、l₁、l₂、y轴、l₃、l₄依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A₂₀₁₆在x轴的正半轴上，再规律得到OA₂₀₁₆=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵，然后表示出点A₂₀₁₇坐标．

解答 解：∵y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，l₂：y₂=$\sqrt{3}$x，l₃：y₃=-$\sqrt{3}$x，l₄：y₄=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴x轴、l₁、l₂、y轴、l₃、l₄依次相交为30的角，
∵2017=168×12+1，
∴点A₂₀₁₆在x轴的正半轴上，
∵OA₂=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OA₃=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
OA₄=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）³，
…
OA₂₀₁₆=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵，
∴点A₂₀₁₇坐标为（（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁶，0）．
故答案为（（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁶，0）．

点评 本题考查了规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各点到原点的距离和点的位置的循环规律．