Question

4．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+x的对称轴为直线x=2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为（2，-4）．

Answer 1

分析 根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵抛物线y=ax²+x的对称轴为直线x=2，
∴-$\frac{1}{2a}$=2，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的表达式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴顶点A的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为E．
如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=$\frac{OE}{AE}$，tan∠EOP=$\frac{PE}{OE}$，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE=∠EOP，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵AE=1，OE=2，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{PE}{2}$，
解得PE=4，
∴P（2，-4），
故答案为：（2，-4）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．