Question

20．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上靠近点B的四等分点，点F是CD的中点，连接AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B₁处位置处，点A经过旋转落在点A₁位置处，连接AA₁交BF于点N，则AN的长为$\frac{2\sqrt{85}}{5}$．

Answer 1

分析 先找出辅助线判断出点P是BB₁的中点，由旋转得到△BPE∽△BCF，再判断出A，B₁，M三点共线，再由B₁Q=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，A₁Q=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=AB₁最后用勾股定理计算即可．

解答 解：如图，

作EP⊥BF，A₁Q⊥BF，取BC的中点M，连接AB₁，B₁M，
∴点P是BB₁的中点，
∵E是BM中点，
∴EP∥MB₁，
∴MB₁⊥BB₁，
由旋转得，△BPE∽△BCF，
∴BP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PB₁=PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BB₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠FBC=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{B{B}_{1}}{BA}$，
∴∠AB₁B=90°，
∴A，B₁，M三点共线，
∴AB₁=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠B₁A₁Q=∠BB₁E=∠FBC，
∴△B₁QA₁∽△FCB，
∴B₁Q=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，A₁Q=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=AB₁，
∴△AB₁N≌△A₁QN，
∴B₁N=$\frac{1}{2}$B₁Q=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
根据勾股定理得，AN=$\frac{2\sqrt{85}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{85}}{5}$．

点评 此题是旋转性质题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线．