Question

7．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5$\sqrt{5}$cm，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，那么矩形ABCD的周长为36cm．

Answer 1

分析 根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．

解答 解：∵tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，
∴设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{125{k}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
解得：k=1，
故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，
故答案为：36．

点评 此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．