Question

19．我们知道：平行线间的距离处处相等，即：如图（1）已知AD∥BC，MN⊥AD，PQ⊥AD，所以PQ=MN．
已知：图①～④中的四边形ABCD都是平行四边形（其中AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，）设它的面积为S．
（1）如图①，点M为AD边上任意一点，则△BCM的面积S₁=$\frac{1}{2}$S，△BCD的面积S₂与△BCM的面积S₁的数量关系是S₁=S₂；
（2）如图②，设AC、BD交于点O，则O为AC、BD的中点，则△AOD的面积S₃与四边形ABCD的面积S的数量关系是S₃=$\frac{1}{4}$S．
（3）如图③，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAD的面积为S₄，△PBC的面积为S₅，猜想得S₄、S₅的和与四边形ABCD的面积为S的数量关系式为S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S．
（4）如图④，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PA2的面积为2，△PDC的面积为4，求△PBD的面积．

Answer 1

分析 （1）设?ABCD中BC边上的高为h₁，CD边上的高为h₂，根据平行四边形的面积公式，三角形的面积公式分别计算即可解决问题；
（2）结论：S₃=$\frac{1}{4}$S，如图②中，在平行四边形ABCD中，O为AC、BD的中点，可得S_△AOD=S_△AOB=S_△BOC=S_△ODC，由此即可解决问题；
（3）如图③中设?ABCD中BC边上的高为h₂，△PBC中BC边上高为h₃，△PAD中AD边上的高为h₄，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（4）根据S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，计算即可；

解答 解：（1）如图①中，设?ABCD中BC边上的高为h₁，CD边上的高为h₂，
∵S_?ABCD=BC•h₁=CD•h₂=S，
S_△BCM=$\frac{1}{2}$BC•h₁=$\frac{1}{2}$S，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•h₂=$\frac{1}{2}$S，
∴S₁=$\frac{1}{2}$S，S₁=S₂（或相等）．
故答案为：$\frac{1}{2}$；S₁=S₂；

（2）S₃=$\frac{1}{4}$S
理由：如图②中，∵O为AC、BD的中点，
∴S_△AOD=S_△AOB=S_△BOC=S_△ODC
∴S₃=$\frac{1}{4}$S；
故答案为S₃=$\frac{1}{4}$S；


（3）如图③中设?ABCD中BC边上的高为h₂，△PBC中BC边上高为h₃，△PAD中AD边上的高为h₄，
∵AD∥BC，
∴h₃+h₄=h₂，
∴S_△PAD+S_△PCB=$\frac{1}{2}$BC•h₃+$\frac{1}{2}$AD•h₄=$\frac{1}{2}$BC（h₃+h₄）=$\frac{1}{2}$BC•h₂=$\frac{1}{2}$S，即S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S；
故答案为：S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S；

（4）∵S_△PBC+S_△PAD=$\frac{1}{2}$S=S_△BCD，S_△PAD=2，S_△PCD=4，
∴S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，即S_△PBD=4+（ $\frac{1}{2}$S-2）-$\frac{1}{2}$S=4-2=2．

点评 本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．